UNIDAD 4: FLEXION

4.1 Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estáticamente determinadas

Definición de viga: es una barra sometida a fuerzas o pares situados en un plano que contiene un eje longitudinal. Las vigas se pueden clasificar de varias maneras. Una forma es de acuerdo con sus condiciones de apoyo

a)    Viga en voladizo: si la viga se encuentra fija solamente en un extremo de tal forma que su eje no pueda gira en ese punto se determina gráficamente, fig.4-1 b. las reacciones en el empotramiento  consiste en una fuerza horizontal y en una fuerza vertical junto con un par.

b)    Vigas simplemente apoyadas: una viga que simplemente apoyada en dos extremos se determina gráficamente fig. 4-1 a. El extremo A de la viga no se desplaza pero el eje longitudinal de la viga puede girar en el plano de la figura. Por lo tanto, un apoyo articulado es capaz de originar una fuerza reactiva con componentes vertical y horizontal. En el apoyo B se impiden los desplazamientos en la dirección vertical pero no en la dirección  horizontal; por lo que el apoyo puede soportar una fuerza vertical pero no horizontal. Desde luego, el eje de la viga puede girar libremente en B al igual que en A.

También las reacciones verticales en los apoyos de una viga simple pueden operar de modo ascendente o descendente, según se requiera para equilibrarla.

c)    Viga con un extremo volado: Esta viga se apoya únicamente en A y B, pero sobre sale el apoyo hasta  el punto C, que es un extremo libre.

Las cargas que operan en las vigas pueden ser varias clases como se muestra en la fig.4-1.   y  son cargas concentradas. Las cargas distribuidas actúan a lo largo de un tramo como lo indica la carga “q” de la fig. 4-1 a y estas se miden por su intensidad se miden en newton por metro o libras por pie. Una carga uniforme, tiene una intensidad constante “q” por unidad de longitud. Una carga variable tiene una intensidad que varía con la longitud a lo largo del eje.

Las vigas que se muestran en la fig. 4-1 son estáticamente determinadas, por lo que sus reacciones pueden determinarse mediante ecuaciones de equilibrio.

Las fuerzas cortantes V y los momentos flexionantes M en una viga son fundamentales de la distancia x medida según por el eje longitudinal. Para obtener esta información es necesario trazar una gráfica que muestre la forma como varia V y M en función de x. para esta gráfica se toma como abscisa la sección transversal  (distancia x) y como ordenada el valor correspondiente ya sea de la fuerza cortante o del momento flexionante. Esta gráfica se denomina diagramas de fuerza cortante y diagramas de momento flexionante.

Para describir la contribución de los diagramas, consideremos una viga simple AB que soporta una crag concentrada P (fig. 4-9 a)  las reacciones par esta viga son

Determinadas a partir del equilibrio de la viga completa. Ahora se corta la viga a la izquierda de la carga P y a una distancia x del apoyo A. Luego, se construye un diagrama de cuerpo libre de la posición izquierda de la viga, y del equilibrio se determina que:

Esta ecuaciones muestra que la fuerza cortante es constante desde el apoyo A hasta el punto de aplicación de la carga P, y que el momento flexionante varía con x. Las expresiones de V y M se trazan directamente debajo del esquema de la viga (fig. 4-9).

Los valores máximos o mínimos de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes son necesarios en el diseño de vigas. Para a una viga simple con una sola carga concentrada, la fuerza  cortante máxima se presenta en el extremo de la viga más cercano a la carga concentrada y el momento flexionante máximo se presenta bajo la misma carga.

La elaboración de un diagrama de fuerza y momento flexionante se muestra en la fig 4-10. Consideremos una viga simple con una carga uniformemente distribuida.

La primera de estas ecuaciones muestra que el diagrama de fuerzas cortante es una recta inclinada. El diagrama de momento flexionante es una curva parabólica simétrica respecto al centro de la viga.

En cada sección transversal; la pendiente del diagrama del momento flexiónate es igual a la fuerza cortante.

El valor máximo del momento flexionante se presenta en el punto en donde dM/dx=0.

Si varias cargas concentradas actúan sobre una viga simple (fig. 4-11a) se puede determinar las expresiones de V y M para cada región de la viga entre los puntos de aplicación de la carga.

Para la primera región (0<x< ) se obtiene:

Para la segunda región ( <x< ) se obtiene:

Para la tercera sección ( <x< )  se  obtiene:

Finalmente se obtiene:

En esta forma se obtiene para los momentos flexionantes los valores:

A partir de estos valores se puede construir rápidamente el diagrama de momento flexiónate (fig. 4-11 c)

4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS

A partir de las deformaciones normales €_x  podemos obtener los esfuerzos β_x que actúan perpendiculares a la sección transversal de una viga. Cada viga longitudinal de la viga está sometida únicamente a tensión o compresión; en consecuencia el diagrama esfuerzo-deformación para el material proporcionara la relación entre €_x y β_x.

Los momentos de inercia tienen dimensión de longitud a la cuarta potencia, y algunas unidades representativas son plg⁴, m⁴,  y mm⁴, para cálculos de vigas. Así los esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y medida a partir de la superficie neutra.

En general, esta resultante debe consistir en una fuerza horizontal en la dirección x y  un momento que actúaalrededor del eje z. sin embargo, dado que no actúan fuerzas axiales sobre la sección transversal, la única resultante es el momento M_o.

Los esfuerzos normales se obtienen mediante la sig. ecuación:

Β_x= My/I

Esta ecuación establece que los esfuerzos son proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal.

Cuando una viga se somete a flexión no uniforme, actúan simultáneamente momentos flexionantes M y las fuerzas cortantes V sobre la sección transversal.

Podemos suponer que probablemente los esfuerzos cortantes £ actúan paralelos a la fuerza cortante V. supongamos también que la distribución de los esfuerzos cortantes es uniforme a lo ancho de la viga. El empleo de estas dos suposiciones nos permitirá determinar completamente la distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección transversal.

De acuerdo con las suposiciones anteriores, los esfuerzos cortantes verticales £ están uniformemente distribuidos sobre las caras verticales de este elemento. También sabemos que los esfuerzos cortantes sobre un lado de un elemento se acompañan por esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento. Por lo que deben presentarse esfuerzos cortantes horizontales entre capas horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes transversales sobre las secciones transversales  verticales. En ningún punto de la viga estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en su magnitud.

£= VQ/Ib

Esta ecuación, conocida también como fórmula del cortante, puede emplearse para determinar el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal. Para determinar como varia el esfuerzo, debemos examinar como varia Q, ya que V, I y b son constantes para una sección transversal dad.

Bibliografía

Libro: Mecánica de Materiales

Segunda edición

Autor: James M. Gere y Stephen P. Timoshenko

UNIDAD 4: FLEXION

4.3 DEFLEXION EN VIGAS

DEFLEXION EN VIGAS

Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

    Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma.  Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

 Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

METODOS DE DOBLE INTEGRACION

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza  cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente  la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

  

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial.  Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’.  Planteamos:

                            

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

            Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier disIntegrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.tancia ‘x’ m

METODO DE TRES MOMENTOS

Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos.  De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga.  En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos.  Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.

 En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.  Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.de un extremo de la viga.

El término ‘C₂’ es una constante de integración que, al igual que ‘C₁’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

Bibliografia

 GERE JAMES M.

MECANICA DE MATERIALES

4.4  VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

El análisis de las vigas estaticamente indeterminado es muy diferente al de las estaticamente determinadas. Cuando una viga es estaticamente determinada podemos obtener todas las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a partir del diagrama de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

Cuando una viga es estaticamente indeterminada, para determinar todas las reacciones no son suficientes las ecuaciones de equilibrio y se necesitan ecuaciones adicionales. El metodomas fundamental para analizar una viga estaticamente indeterminada es resolver la ecuación diferencial de la curva de deflexion.

Si bien este método  sirve como un buen punto de partida en nuestro análisis, solo es practico para los tipos de viga indeterminadas mas simples.

TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Por lo general las vigas estaticamente indeterminadas se identifican  por la configuración de sus apoyos, por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro se le denomina viga en voladizo apuntalada.

Otro tipo de viga estaticamente indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas ( dos fuerzas y un momento en cada soporte), puesto que solo has tres ecuaciones de equilibrio, la viga estaticamente indeterminada de  tercer grado ( esta viga tambien recibe el nombre de viga empotrada o viga apuntalada).

Viga continua llamada asi porque tiene mas de un clavo y es continua sobre su soporte interior: Esta viga es estaticamente indeterminada de primer grado porque tiene cutro fuerzas  reactivas y se dispone de solo tres ecuaciones de equilibrio.

BIBLIOGRAFIA

GERE JAMES M.

MECANICA DE MATERIALES

Ed. GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA

UNIDAD 5: ESFUERZOS COMBINADOS

5.1 Círculo de Mohr para esfuerzos.

Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos la Ecs. (6.-4) como sigue:

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo 2Ө como parámetro. Al elevar al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es:

Esta ecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:

La ecuación (a) resulta ahora:

Que es la ecuación de un círculo en coordenadas  y . El círculo tiene radio R y su centro tiene coordenadas =  y

Tomaremos  como la abscisa y  como la ordenada. Sin embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes.

 

Se procede ahora a construir el círculo de Morh para un elemento  en esfuerzo plano (figs. 6-15 a y b). Los pasos son los siguientes: (1) Localizar el centro C del círculo en el punto de coordenadas =  y  (fig. 6-15 c). Localizar el punto A, que es el punto sobre el círculo que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento (Ө=0); para este punto tenemos  =   y =  (3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento (Ө=90°). Las coordenadas de este punto son =   y =  ya que cuando el elemento  se gira un ángulo Ө=90°, El esfuerzo normal  se vuelve  y el esfuerzo cortante  se vuelve negativo . Obsérvese que una recta desde A hasta B pasa a través del centro C. Por lo que el punto A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90° uno del otro, están en los extremos opuestos del diámetro (separados 180° en el círculo). (4) Dibujar  el círculo a través de los puntos A y B con el centro en C.

Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud DE la recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que la abscisas de los punto C y A son ( )/2 y , respectivamente. La diferencia en estas abscisas es ( )/2, como se muestra en la fig. 6-15 c. También la ordenada del punto A es . Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud ( )/2, y otro lado de longitud . Al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los 2 lados se obtiene R.

Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo Ө a partir del eje x (fig. 6-15 b). Sobre el círculo de Mohr, tomamos un ángulo 2Өen sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el punto para la el cual Ө=0°. El ángulo 2Ө ubica al punto D sobre el círculo. Este punto tiene las coordenadas  del punto D están dadas por las ecuaciones de transformación de esfuerzos, representamos  por β el ángulo entre la línea radical CD y el eje . Luego, a partir de la geometría de la figura, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:

5.2 Análisis de esfuerzo bajo cargas combinadas

El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deformables.

Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes (o flechas) y barras pueden derivarse a partir de las diversas fórmulas.

Las condiciones de esfuerzos existentes en barras cargadas axialmente, barras en torsión y vigas son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. En un esfuerzo plano, sólo las caras X y Y del elemento están sometidos a esfuerzos, actúan paralelos a los ejes X y Y (fig. 6-1 a).

 

Cargas Combinadas (Esfuerzo Plano):

Los miembros estructurales a menudo requieren soportar más de un tipo de carga. El análisis de un miembro sometido a tales cargas combinadas puede realizarse usualmente mediante la superposición de  los esfuerzos debidos a cada carga que actúa separadamente. La suposición  de los esfuerzos  son funciones lineales de las cargas y no hay efectos interactivos entre las diferentes cargas. El último requisito satisface usualmente si la de flexiones y rotaciones de la estructura son pequeñas.

El análisis se inicia con la determinación de los esfuerzos  debido a las fuerzas axiales, pares, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Luego, tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes, después de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que actúan en direcciones inclinadas mediante las ecuaciones de transformación o el círculo de Morh. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De esta manera pueden analizarse cualquier número de localizaciones críticas en el elemento ya se confirmado que el diseño es adecuado, o si los esfuerzos son muy grandes  o muy pequeños, indicando que son necesarios algunos cambios en el diseño.

Ejemplo: Considérese la barra maciza en voladiza mostrada en la fig. 6-31 a. La barra está cargada en su extremo libre por un par torsionante T y una fuerza lateral flexiónate P. Estas cargas producen en cada sección transversal un momento de flexión M, una fuerza cortante V y  un momento de torsión T cada uno de los cuales produce esfuerzos que actúan sobre las secciones transversales. Si se separa un elemento esforzado A en la parte superior de la barra. Se aprecia que está sometido a un esfuerzo de flexión =Mr/I y a esfuerzo cortante 𝜏= Tr . En estas expresiones, r es el radio de la barra, I es el momento de inercia respecto al eje z (el eje neutro) e . Es el momento polar de inercia. En la parte superior de la barra no hay esfuerzos cortantes asociados con la fuerza cortante V. Luego el elemento  en A está sometido a esfuerzo plano, como se muestra en la fig. 6-31 b. Si se supone que  y 𝜏 se han calculado, se produce a determinar los esfuerzos sobre un elemento girado a cualquier ángulo deseado. Los esfuerzos normales máximos y mínimos en el punto A son los esfuerzos principales deducidos  a:

También, el esfuerzo cortante máximo localizado en el plano es

Mayor que los esfuerzos cortantes fuera del plano. Esfuerzos máximos pueden compararse en los esfuerzos normal y cortante permisibles al verificar si la barra es adecuada. Por supuesto, los esfuerzos son  mayores cuando el elemento A está localizado en el empotramiento de la viga, donde el momento flexionante M tiene su valor máximo. Por lo que la parte superior del empotramiento de la viga es uno de los puntos críticos donde deben analizarse los esfuerzos.

Otro punto crítico está sobre el costado de la barra en el eje neutro (punto B en la fig. 6-31 a). En este sitio, el esfuerzo por flexión  es cero, pero el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V tiene su valor máximo. El elemento en B está en un estado de cortante puro (fig. 6-31 c), y el esfuerzo de corte resultante 𝜏 consta de dos partes: primera, el esfuerzo cortante  debido al par T y obtenido a partir de la fórmula = ; y segundo, el esfuerzo cortante  debido a la fuerza cortante V (igual a la carga P) y obtenido a partir de la fórmula =4V/3ª para una barra  circular maciza. Luego, el esfuerzo total que actúa sobre el elemento es 𝜏= + . Los esfuerzos principales ocurren sobre planos 45° respecto al eje y tienen las mismas magnitudes que el propio esfuerzo cortante:

Por supuesto, el esfuerzo cortante máximos en B es el esfuerzo 𝜏. Estos esfuerzos normal y cortante máximos deben comparase con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la base de la barra, a fin de calcular los esfuerzos máximos absolutos que se emplean en diseño.