UNIDAD 5: ESFUERZOS COMBINADOS

5.1 Círculo de Mohr para esfuerzos.

Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos la Ecs. (6.-4) como sigue:

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo 2Ө como parámetro. Al elevar al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es:

Esta ecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:

La ecuación (a) resulta ahora:

Que es la ecuación de un círculo en coordenadas  y . El círculo tiene radio R y su centro tiene coordenadas =  y

Tomaremos  como la abscisa y  como la ordenada. Sin embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes.

 

Se procede ahora a construir el círculo de Morh para un elemento  en esfuerzo plano (figs. 6-15 a y b). Los pasos son los siguientes: (1) Localizar el centro C del círculo en el punto de coordenadas =  y  (fig. 6-15 c). Localizar el punto A, que es el punto sobre el círculo que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento (Ө=0); para este punto tenemos  =   y =  (3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento (Ө=90°). Las coordenadas de este punto son =   y =  ya que cuando el elemento  se gira un ángulo Ө=90°, El esfuerzo normal  se vuelve  y el esfuerzo cortante  se vuelve negativo . Obsérvese que una recta desde A hasta B pasa a través del centro C. Por lo que el punto A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90° uno del otro, están en los extremos opuestos del diámetro (separados 180° en el círculo). (4) Dibujar  el círculo a través de los puntos A y B con el centro en C.

Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud DE la recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que la abscisas de los punto C y A son ( )/2 y , respectivamente. La diferencia en estas abscisas es ( )/2, como se muestra en la fig. 6-15 c. También la ordenada del punto A es . Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud ( )/2, y otro lado de longitud . Al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los 2 lados se obtiene R.

Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo Ө a partir del eje x (fig. 6-15 b). Sobre el círculo de Mohr, tomamos un ángulo 2Өen sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el punto para la el cual Ө=0°. El ángulo 2Ө ubica al punto D sobre el círculo. Este punto tiene las coordenadas  del punto D están dadas por las ecuaciones de transformación de esfuerzos, representamos  por β el ángulo entre la línea radical CD y el eje . Luego, a partir de la geometría de la figura, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:

5.2 Análisis de esfuerzo bajo cargas combinadas

El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deformables.

Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes (o flechas) y barras pueden derivarse a partir de las diversas fórmulas.

Las condiciones de esfuerzos existentes en barras cargadas axialmente, barras en torsión y vigas son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. En un esfuerzo plano, sólo las caras X y Y del elemento están sometidos a esfuerzos, actúan paralelos a los ejes X y Y (fig. 6-1 a).

 

Cargas Combinadas (Esfuerzo Plano):

Los miembros estructurales a menudo requieren soportar más de un tipo de carga. El análisis de un miembro sometido a tales cargas combinadas puede realizarse usualmente mediante la superposición de  los esfuerzos debidos a cada carga que actúa separadamente. La suposición  de los esfuerzos  son funciones lineales de las cargas y no hay efectos interactivos entre las diferentes cargas. El último requisito satisface usualmente si la de flexiones y rotaciones de la estructura son pequeñas.

El análisis se inicia con la determinación de los esfuerzos  debido a las fuerzas axiales, pares, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Luego, tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes, después de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que actúan en direcciones inclinadas mediante las ecuaciones de transformación o el círculo de Morh. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De esta manera pueden analizarse cualquier número de localizaciones críticas en el elemento ya se confirmado que el diseño es adecuado, o si los esfuerzos son muy grandes  o muy pequeños, indicando que son necesarios algunos cambios en el diseño.

Ejemplo: Considérese la barra maciza en voladiza mostrada en la fig. 6-31 a. La barra está cargada en su extremo libre por un par torsionante T y una fuerza lateral flexiónate P. Estas cargas producen en cada sección transversal un momento de flexión M, una fuerza cortante V y  un momento de torsión T cada uno de los cuales produce esfuerzos que actúan sobre las secciones transversales. Si se separa un elemento esforzado A en la parte superior de la barra. Se aprecia que está sometido a un esfuerzo de flexión =Mr/I y a esfuerzo cortante 𝜏= Tr . En estas expresiones, r es el radio de la barra, I es el momento de inercia respecto al eje z (el eje neutro) e . Es el momento polar de inercia. En la parte superior de la barra no hay esfuerzos cortantes asociados con la fuerza cortante V. Luego el elemento  en A está sometido a esfuerzo plano, como se muestra en la fig. 6-31 b. Si se supone que  y 𝜏 se han calculado, se produce a determinar los esfuerzos sobre un elemento girado a cualquier ángulo deseado. Los esfuerzos normales máximos y mínimos en el punto A son los esfuerzos principales deducidos  a:

También, el esfuerzo cortante máximo localizado en el plano es

Mayor que los esfuerzos cortantes fuera del plano. Esfuerzos máximos pueden compararse en los esfuerzos normal y cortante permisibles al verificar si la barra es adecuada. Por supuesto, los esfuerzos son  mayores cuando el elemento A está localizado en el empotramiento de la viga, donde el momento flexionante M tiene su valor máximo. Por lo que la parte superior del empotramiento de la viga es uno de los puntos críticos donde deben analizarse los esfuerzos.

Otro punto crítico está sobre el costado de la barra en el eje neutro (punto B en la fig. 6-31 a). En este sitio, el esfuerzo por flexión  es cero, pero el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V tiene su valor máximo. El elemento en B está en un estado de cortante puro (fig. 6-31 c), y el esfuerzo de corte resultante 𝜏 consta de dos partes: primera, el esfuerzo cortante  debido al par T y obtenido a partir de la fórmula = ; y segundo, el esfuerzo cortante  debido a la fuerza cortante V (igual a la carga P) y obtenido a partir de la fórmula =4V/3ª para una barra  circular maciza. Luego, el esfuerzo total que actúa sobre el elemento es 𝜏= + . Los esfuerzos principales ocurren sobre planos 45° respecto al eje y tienen las mismas magnitudes que el propio esfuerzo cortante:

Por supuesto, el esfuerzo cortante máximos en B es el esfuerzo 𝜏. Estos esfuerzos normal y cortante máximos deben comparase con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la base de la barra, a fin de calcular los esfuerzos máximos absolutos que se emplean en diseño.