UNIDAD 4: FLEXION

4.1 Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estáticamente determinadas

Definición de viga: es una barra sometida a fuerzas o pares situados en un plano que contiene un eje longitudinal. Las vigas se pueden clasificar de varias maneras. Una forma es de acuerdo con sus condiciones de apoyo

a)    Viga en voladizo: si la viga se encuentra fija solamente en un extremo de tal forma que su eje no pueda gira en ese punto se determina gráficamente, fig.4-1 b. las reacciones en el empotramiento  consiste en una fuerza horizontal y en una fuerza vertical junto con un par.

b)    Vigas simplemente apoyadas: una viga que simplemente apoyada en dos extremos se determina gráficamente fig. 4-1 a. El extremo A de la viga no se desplaza pero el eje longitudinal de la viga puede girar en el plano de la figura. Por lo tanto, un apoyo articulado es capaz de originar una fuerza reactiva con componentes vertical y horizontal. En el apoyo B se impiden los desplazamientos en la dirección vertical pero no en la dirección  horizontal; por lo que el apoyo puede soportar una fuerza vertical pero no horizontal. Desde luego, el eje de la viga puede girar libremente en B al igual que en A.

También las reacciones verticales en los apoyos de una viga simple pueden operar de modo ascendente o descendente, según se requiera para equilibrarla.

c)    Viga con un extremo volado: Esta viga se apoya únicamente en A y B, pero sobre sale el apoyo hasta  el punto C, que es un extremo libre.

Las cargas que operan en las vigas pueden ser varias clases como se muestra en la fig.4-1.   y  son cargas concentradas. Las cargas distribuidas actúan a lo largo de un tramo como lo indica la carga “q” de la fig. 4-1 a y estas se miden por su intensidad se miden en newton por metro o libras por pie. Una carga uniforme, tiene una intensidad constante “q” por unidad de longitud. Una carga variable tiene una intensidad que varía con la longitud a lo largo del eje.

Las vigas que se muestran en la fig. 4-1 son estáticamente determinadas, por lo que sus reacciones pueden determinarse mediante ecuaciones de equilibrio.

Las fuerzas cortantes V y los momentos flexionantes M en una viga son fundamentales de la distancia x medida según por el eje longitudinal. Para obtener esta información es necesario trazar una gráfica que muestre la forma como varia V y M en función de x. para esta gráfica se toma como abscisa la sección transversal  (distancia x) y como ordenada el valor correspondiente ya sea de la fuerza cortante o del momento flexionante. Esta gráfica se denomina diagramas de fuerza cortante y diagramas de momento flexionante.

Para describir la contribución de los diagramas, consideremos una viga simple AB que soporta una crag concentrada P (fig. 4-9 a)  las reacciones par esta viga son

Determinadas a partir del equilibrio de la viga completa. Ahora se corta la viga a la izquierda de la carga P y a una distancia x del apoyo A. Luego, se construye un diagrama de cuerpo libre de la posición izquierda de la viga, y del equilibrio se determina que:

Esta ecuaciones muestra que la fuerza cortante es constante desde el apoyo A hasta el punto de aplicación de la carga P, y que el momento flexionante varía con x. Las expresiones de V y M se trazan directamente debajo del esquema de la viga (fig. 4-9).

Los valores máximos o mínimos de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes son necesarios en el diseño de vigas. Para a una viga simple con una sola carga concentrada, la fuerza  cortante máxima se presenta en el extremo de la viga más cercano a la carga concentrada y el momento flexionante máximo se presenta bajo la misma carga.

La elaboración de un diagrama de fuerza y momento flexionante se muestra en la fig 4-10. Consideremos una viga simple con una carga uniformemente distribuida.

La primera de estas ecuaciones muestra que el diagrama de fuerzas cortante es una recta inclinada. El diagrama de momento flexionante es una curva parabólica simétrica respecto al centro de la viga.

En cada sección transversal; la pendiente del diagrama del momento flexiónate es igual a la fuerza cortante.

El valor máximo del momento flexionante se presenta en el punto en donde dM/dx=0.

Si varias cargas concentradas actúan sobre una viga simple (fig. 4-11a) se puede determinar las expresiones de V y M para cada región de la viga entre los puntos de aplicación de la carga.

Para la primera región (0<x< ) se obtiene:

Para la segunda región ( <x< ) se obtiene:

Para la tercera sección ( <x< )  se  obtiene:

Finalmente se obtiene:

En esta forma se obtiene para los momentos flexionantes los valores:

A partir de estos valores se puede construir rápidamente el diagrama de momento flexiónate (fig. 4-11 c)

4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS

A partir de las deformaciones normales €_x  podemos obtener los esfuerzos β_x que actúan perpendiculares a la sección transversal de una viga. Cada viga longitudinal de la viga está sometida únicamente a tensión o compresión; en consecuencia el diagrama esfuerzo-deformación para el material proporcionara la relación entre €_x y β_x.

Los momentos de inercia tienen dimensión de longitud a la cuarta potencia, y algunas unidades representativas son plg⁴, m⁴,  y mm⁴, para cálculos de vigas. Así los esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y medida a partir de la superficie neutra.

En general, esta resultante debe consistir en una fuerza horizontal en la dirección x y  un momento que actúaalrededor del eje z. sin embargo, dado que no actúan fuerzas axiales sobre la sección transversal, la única resultante es el momento M_o.

Los esfuerzos normales se obtienen mediante la sig. ecuación:

Β_x= My/I

Esta ecuación establece que los esfuerzos son proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal.

Cuando una viga se somete a flexión no uniforme, actúan simultáneamente momentos flexionantes M y las fuerzas cortantes V sobre la sección transversal.

Podemos suponer que probablemente los esfuerzos cortantes £ actúan paralelos a la fuerza cortante V. supongamos también que la distribución de los esfuerzos cortantes es uniforme a lo ancho de la viga. El empleo de estas dos suposiciones nos permitirá determinar completamente la distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección transversal.

De acuerdo con las suposiciones anteriores, los esfuerzos cortantes verticales £ están uniformemente distribuidos sobre las caras verticales de este elemento. También sabemos que los esfuerzos cortantes sobre un lado de un elemento se acompañan por esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento. Por lo que deben presentarse esfuerzos cortantes horizontales entre capas horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes transversales sobre las secciones transversales  verticales. En ningún punto de la viga estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en su magnitud.

£= VQ/Ib

Esta ecuación, conocida también como fórmula del cortante, puede emplearse para determinar el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal. Para determinar como varia el esfuerzo, debemos examinar como varia Q, ya que V, I y b son constantes para una sección transversal dad.

Bibliografía

Libro: Mecánica de Materiales

Segunda edición

Autor: James M. Gere y Stephen P. Timoshenko