UNIDAD 4: FLEXION

4.3 DEFLEXION EN VIGAS

DEFLEXION EN VIGAS

Ecuación diferencial de la elástica

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:

    Donde ‘r’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma.  Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

 Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

METODOS DE DOBLE INTEGRACION

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza  cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente  la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

  

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial.  Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’.  Planteamos:

                            

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

            Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier disIntegrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.tancia ‘x’ m

METODO DE TRES MOMENTOS

Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos.  De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga.  En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos.  Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.

 En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.  Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.de un extremo de la viga.

El término ‘C₂’ es una constante de integración que, al igual que ‘C₁’, depende de las condiciones de frontera.  Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.  Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

Bibliografia

 GERE JAMES M.

MECANICA DE MATERIALES

4.4  VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

El análisis de las vigas estaticamente indeterminado es muy diferente al de las estaticamente determinadas. Cuando una viga es estaticamente determinada podemos obtener todas las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a partir del diagrama de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

Cuando una viga es estaticamente indeterminada, para determinar todas las reacciones no son suficientes las ecuaciones de equilibrio y se necesitan ecuaciones adicionales. El metodomas fundamental para analizar una viga estaticamente indeterminada es resolver la ecuación diferencial de la curva de deflexion.

Si bien este método  sirve como un buen punto de partida en nuestro análisis, solo es practico para los tipos de viga indeterminadas mas simples.

TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Por lo general las vigas estaticamente indeterminadas se identifican  por la configuración de sus apoyos, por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro se le denomina viga en voladizo apuntalada.

Otro tipo de viga estaticamente indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas ( dos fuerzas y un momento en cada soporte), puesto que solo has tres ecuaciones de equilibrio, la viga estaticamente indeterminada de  tercer grado ( esta viga tambien recibe el nombre de viga empotrada o viga apuntalada).

Viga continua llamada asi porque tiene mas de un clavo y es continua sobre su soporte interior: Esta viga es estaticamente indeterminada de primer grado porque tiene cutro fuerzas  reactivas y se dispone de solo tres ecuaciones de equilibrio.

BIBLIOGRAFIA

GERE JAMES M.

MECANICA DE MATERIALES

Ed. GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA